Задать характеристическим свойством множество

Защита прав Урок основные понятия. Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная совокупность множеством или не является? Определение: Считают, что множество определяется своими элементами, т. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Например, если мы скажем, что множество А состоит задать характеристическим свойством множество чисел 3, 4, 5 и 6, то мы дадим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными. Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементов. В задать характеристическим свойством множество случаях применяют другой способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, - «быть дву­значным числом». Это характеристическое свойство дает возмож­ность решать вопрос о том, задать характеристическим свойством множество какой-либо объект множе­ству А или не принадлежит. Так, число 45 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит, так как оно не является двузначным. Случается, что одно и то же множество можно задать, указав раз­личные характеристические свойства его элементов. Например, множе­ство квадратов можно задать как множество прямоугольников задать характеристическим свойством множество рав­ными соседними сторонами и как множество ромбов с прямым углом. В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множе­ства можно представить в символической форме, возможна соответст­вующая запись множества. При такой записи буквой x обозначается элемент множества Для этих целей можно использовать и другие буквы латинского алфавита. Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать их характеристическое свойство. Второй способ более общий: он позволяет задавать и конеч­ные, и бесконечные множества. Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения: а X- множество чисел 0,1,2, 3, 4, 5; б Y- множество букв а, Ь, с. Запишите, используя символы, множество Р, если оно состоит из натуральных чисел: а больших 100, но меньших 200; б меньших 150. Перечислите элементы следующих множеств: А - четные однозначные числа; В - натуральные числа меньшие 20; Задать характеристическим свойством множество - двузначные числа, делящиеся на 10. Укажите характеристическое свойство элементов множества: а {а, е, ё, и, о, у, э, ю, я, ы}; б {78,76,74,72,70}; в {111,222, 333,444, 555,666,777,888,999}. Задайте при помощи характеристического свойства множества, выделенные штриховкой на координатной прямой. Запишите при помощи символов задание множеств по два любого раздела алгебры, геометрии истории. Запишите при помощи символов задание множеств по два любого раздела алгебры, геометрии истории при помощи характеристических свойств. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежат ли этому множеству диагональ квадрата и центр круга? В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Понятие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными сово­купностями, позволяет посмотреть на них с задать характеристическим свойством множество точки зрения. Если множества А задать характеристическим свойством множество В имеют общие элементы, т. Они пе­ресекаются, и, кроме того, каждый элемент множества Задать характеристическим свойством множество является эле­ментом множества В этом случае говорят, что множество В включа­ется в множество А В является подмножеством мно­жества А и пишут. Определение: Множество В является подмножеством задать характеристическим свойством множество А, если каждый элемент множества В является также эле­ментом множества Пустое множество считают подмноже­ством любого множества. Любое множество является подмноже­ством самого себя. Среди них будут одноэлементные: {2}, {3}, {4}, двух­элементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и задать характеристическим свойством множество множество. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств. Замечание: Если множество А содержит n элементов, то у него различных подмножеств. Множества Аи В называются равными, если А В и В Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что задать характеристическим свойством множество записи элементов множества не су­ществен. О тношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества представляют в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур. В том случае, если множества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как показано на рисунке вариант а. Если множество В является множеством А, то круг, изображающий множество В, целиком оказывается в круге, изображающем множество А вариант б. Если А В, то множества А и В изображают так, как на рисунке вариант в. Равные множества представляют в виде одного круга вариант г. Если множества А и В не пересекаются то их изображают в виде двух фигур, не имеющих общих точек вариант д. Известно, что элемент а содержится в множестве А и в множестве Какое из данных множеств является подмножеством другого: а А - натуральные числа, задать характеристическим свойством множество 2; В - натуральные числа, кратные 6; С - натуральные числа, кратные 3. Есть ли задать характеристическим свойством множество полученных задать характеристическим свойством множество такое, которое равно множеству Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между всеми известными четырехугольниками. Вспомните по два примера отношений между различными множествами из алгебры, геометрии истории изобразите их при помощи символики или кругов Эйлера. Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и Пересечением множеств А и В называется множе­ство, содержащее все элементы, которые принадлежат множе­ству А и множеству Пересечение множеств А и В обозначают А При помощи кругов Эйлера пресечением данных множеств является штрихованная область. Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях. Если элементы множеств А и В перечис­лены, то, чтобы их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству А как быть, если множества заданы характеристическими свойст­вами своих задать характеристическим свойством множество Замечание: Характеристическое свойство множества А В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и». Найдем, например, пересечение множества А - четных натураль­ных чисел и множества В - двузначных чисел. Характеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свойство элементов множества В - «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными натуральными и двузначными числами». Таким образом, множество А В есть четные двузначные числа. Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением: а был треугольник; б был отрезок; в была точка. Начертите задать характеристическим свойством множество фигуры, принадлежащие пересечению множеств С задать характеристическим свойством множество О, если С — множество ромбов, а О — множество прямоугольников. А - множество точек окружности, В - множество точек прямой. Из скольких элементов может состоять пересечение данных множеств? Может ли оно быть пустым? Начертите две фигуры, принадлежащие пересечению множеств С и О если С — множество равнобедренных треугольников, а О — множество прямоугольных треугольников. Придумайте по два примера на пересечение множеств из алгебры, геометрии истории. Образу­ем множество С, в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т. Так полученное множество С называют объединением множеств А и Объединением множеств А и В называется множе­ство, содержащее все элементы, которые принадлежат множе­ству А или множеству Объединение множеств А и В обозначают А Изображением объединения множества А и В при помощи кругов Эйлера является заштрихованная область. Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях. Если задать характеристическим свойством множество множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами их элементов? Замечание: Характеристическое свойство элементов множества А В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза «или». Найдем, например, объединение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а свойство элементов множества В - «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, задать характеристическим свойством множество свойство которых - «быть четным натуральным или двузначным числом». Придумайте по два примера на объединение множеств из алгебры, геометрии истории. М - множество однозначных чисел, Р - множество нечетных на­туральных чисел. Из каких чисел состоит объединение данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9? А - множество точек окружности, В - множество точек прямой. Из скольких элементов может состоять объединение данных множеств? Может ли оно быть пустым? Начертите две фигуры, принадлежащие объединению множеств С и О если С — множество равнобедренных треугольников, а О — множество прямоугольных треугольников. Начертить две фигуры, принадлежа­щие объединению множеств С и О, если С - множество ромбов, О - множество прямоугольников. Назовите все множества, о которых идет речь в задаче: а У школы посадили 4 липы и 3 березы. Сколько всего задать характеристическим свойством множество посадили задать характеристическим свойством множество школы? В день рождения ему подарили еще 4 книги. Сколько книг стало у Коли? Свойства пересечения и объединения множеств. П роиллюстрируем свойство ассоциативности при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов рис. В выражении А В С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В - оно показано на рисунке вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и задать характеристическим свойством множество Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество А В Представим теперь наглядно множество А В В соответ­ствии с указанным порядком действий сначала надо найти пересече­ние множеств В и С - на рисунке б оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полу­ченным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изобра­жать множество А В Как видим, области, представляющие множества А В С и А В С одинаковы, что и подтверждает справед­ливость свойства ассоциативности для пересечения множеств. Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств. Утверждение задать характеристическим свойством множество Пересечение дистрибутивно относительно объединения мно­жеств, задать характеристическим свойством множество. Утверждение : Объединение дистрибутивно относительно пересечения мно­жеств, т. Замечание: Если в выражении есть знаки пересечения и объеди­нения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» задать характеристическим свойством множество, чем объединение. Известно, что x А Определите порядок выполнения действий: а А В С; б А В С; в Задать характеристическим свойством множество В С Д; г А В С А - множество треугольников, В - множество ромбов, С - множество многоугольников, имеющих угол 60°. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству При помощи кругов Эйлера разность множеств А и В изображается заштрихованной областью. В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмноже­ством другого. Дополнением множества В до множе­ства А называется множество, содержащее все элементы множе­ства А, которые не принадлежат множеству Дополнение обозначают символом в' аа на­глядно изображают так, как представлено на рисунке. Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах. Если элементы множеств А и В перечислены и Задать характеристическим свойством множество А, то, чтобы найти дополнение множества В до множества А, достаточно перечис­лить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству Замечание: Если В А, то характеристическое свойство элементов дополнения множества В до множества А имеет вид {x x А и x В}. Замечание: Считают, что пересечение - более «сильная» операция, чем вы­читание. Объединение считают равноправным вычитанию. Свойства: Вычитание множеств обладает задать характеристическим свойством множество свойств. Даны множества: А - натуральных чисел, кратных 3, В - натуральных чисел, кратных 9. Найдите дополнение множества Y до множества X, если: а Х - множество точек прямой АВ, Y- множество точек отрез­ка АВ; б X - множество точек задать характеристическим свойством множество, Y - задать характеристическим свойством множество точек круга, вписанного в этот квадрат; 3. Из каких чисел состоит дополнение: а множества натуральных чисел до множества целых; б множества рациональных чисел до множества действительных. Найдите дополнение множества Y до множества X, если X - множество задать характеристическим свойством множество, Y- множество квадратов. Из каких чисел состоит дополнение: а множества целых чисел до множества рациональных; задать характеристическим свойством множество множества действительных чисел до множества комплексных. Придумайте по два примера дополнений одного множества до другого из алгебры, геометрии истории. Разбиение множества на классы. Определение: Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество X разбито на классы Х 1, Х 2, …, Хn, …, если: подмножества Х 1, Х 2, …, Хn, … попарно не пересекаются; объединение подмножеств Х 1, Х 2, …, Хn, … совпадает с множе­ством Замечание: Если не выполнено хотя бы одно из условий, то классификацию считают неправильной. Например, если из множества X треугольни­ков выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, по­скольку подмножества равнобедренных и равносторонних тре­угольников пересекаются все равносторонние треугольники явля­ются равнобедренными. В данном случае не выполнено первое ус­ловие разбиения множества на классы. Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств. Рассмотрим множество натуральных чисел. Рассмотрим чис­ла, обладающие свойством «быть кратным 3». Задать характеристическим свойством множество свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных задать характеристическим свойством множество. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса. Такую классификацию называ­ют дихотомической. Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В - подмножество чисел, крат­ных 5. Эти множества пересекаются, задать характеристическим свойством множество ни одно из них не является подмножеством другого. Разбиения множества натуральных чисел на подмно­жества А и В не произошло. Круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множества Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II - из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объедине­ние этих четырех подмножеств есть множество Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса. Н е следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбие­нию этого множества на четыре класса. Напри­мер, при помощи таких двух свойств «быть крат­ным 3» и «быть кратным 6» множество натураль­ных чисел разбивается на три задать характеристическим свойством множество I -класс чисел, кратных 6; II - класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III - класс чисел, не кратных 3. В каком случае произошло разбиение множества Задать характеристическим свойством множество на классы? Из множества треугольников выделили подмножества: а прямоугольные, равнобедренные, равносторонние; б остроугольные, тупоугольные, прямоугольные; в равносторонние, прямоугольные, тупоугольные. В каком случае произошло разбиение множества треугольников на классы? На какие классы задать характеристическим свойством множество множество точек плоскости при помощи: а окружности; б круга; в прямой? Из множества четырехугольников выделили подмножество фи­гур с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбивает­ся множество четырехугольников с помощью свойства «иметь попар­но параллельные стороны»? Начертите по два четырехугольника из каждого класса. На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства: «быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие классы разобьется множество четырехугольников при помощи этих свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса. Изменится ли ответ в упражнении, если на множестве четы­рехугольников рассмотреть свойства: а «быть прямоугольником» и «быть ромбом»; б «быть прямоугольником» и «быть трапецией»? Придумайте по два примера разбиения на классы из курса алгебры, задать характеристическим свойством множество истории.

Похожие документы
Карта сайта
Каталог шуб киров
Зачем человеку другие люди
Инструкция сигнализаций шериф

Комментарии
  • Например, множество ромбов можно задать как множество параллелограммов с равными сторонами и как множество параллелограммов, у которых диагонали взаимно перпендикулярны.